Aufgaben:
1. Die Kabine einer Achterbahn startet im Punkt H einer Rampe (siehe Abb.) und fährt mit der Geschwindigkeit v1 in die Schleifenbahn bei F ein. Die Masse des Fahrzeugs
einschließlich der Personen sei M = 1000 kg, der Kreisradius betrage r = 5 m und die Fallbeschleunigung ist g = 9,81 m/s2. Von Reibungsverlusten sei abgesehen.
a) Erläutern Sie zunächst, welche Kräfte vom „Standpunkt“ des Mitfahrenden auf die Kabine einwirken, wenn sie den Kreis von F ab durchfährt.
b) Geben Sie an welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die Kabine bei Punkt K nicht aus den Schienen fällt. Berechnen Sie mit welcher Mindestgeschwindigkeit v2 K passiert werden muss.
c) Berechnen Sie für die Kabine die Gesamtenergie in K und daraus die Geschwindigkeit v1.
d) Berechnen Sie die Kraft mit welcher nach den Überlegungen von a) eine Person der Masse m = 75 kg in F kurzzeitig in den Sitz gedrückt wird.
2. Ein Federpendel mit der Masse m 9 · 10-2 kg hat folgenden s-t-Graph.
a) Berechnen Sie die Federkonstante D.
b) Bestimmen Sie die Gleichung des abgebildeten Graphen.
c) Berechnen Sie die Auslenkungen s zu den Zeiten t = 12 s, t = 2 s und t = 6,5 s.
d) Bestimmen Sie v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den v-t-Graphen im gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
e) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten zu den Zeiten t = 0, t = 2 s und t = 6,5 s.
f) Bestimmen Sie a(t) = v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den a-t-Graphen im gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
g) Berechnen Sie die Beschleunigungen zu den Zeiten t = 1 s, t = 3 s und t = 6,5 s.
h) Stellen Sie formal und anschaulich dar, warum bei s = ±s0 die größte negative bzw. positive Beschleunigung herrscht und warum bei s = 0 die Beschleunigung a = 0 ist.
i) Weisen Sie durch Rechnung nach: Die Energie des Pendels zurzeit t = 1 s ist gleich der Energie des Pendels zurzeit t = 2 s. Also: W(1s) = W(2s).
3. Hinweise zur Bearbeitung:
Grundlage der folgenden Aufgabe ist das Kapitel 4 im Lernheft PYS04-02: Zu b): Die benötigten Formeln finden Sie im Anhang E: Mathematische Ergänzungen und Hinweise zu Kapitel 4. Wellengleichungen können unterschiedliche mathematische Gestalt haben. Suchen Sie sich die Form heraus, mit der Sie die Aufgabe Ihrer Meinung nach am vorteilhaftesten bearbeiten können. Zu d): Die ebenfalls im Anhang E zu Kapitel 4 angeführte Formel für die Überlagerung einer Welle mit ihrer reflektierten Welle können Sie nicht anwenden, da sich diese Formel auf einen Sonderfall bezieht: Beide Wellen haben hier die gleiche Frequenz und die gleiche Wellenlänge und laufen gegeneinander.
Zwei Wellen s1(x, t) und s2(x, t) laufen zur gleichen Zeit t = 0 von dem gemeinsamen Anfangspunkt O in positiver x-Richtung los. Die Wellenlänge von s1(x, t) beträgt λ1 = 2 cm, die Frequenz f = 10 Hz. Die Wellenlänge von s2(x, t) beträgt λ2 = 1,8 cm, die Frequenz f = 11 Hz. Beide Wellen haben die gleiche Amplitude sm = 2 cm. Da
beide Wellen zugleich von ein und demselben Trägermedium transportiert werden, überlagern sie sich, und zwar so, dass sich jeweils die momentanen Auslenkungen s1(x) bzw. s2(x) am gleichen Ort x zu s(x) addieren: s(x) = s1(x) + s2(x).
a) Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c1 von s1(x, t) und c2 von s2(x, t).
b) Stellen Sie die Wellengleichungen für s1(x, t) und s2(x, t) auf.
c) Zeichen Sie für die Zeit t = 1 s die Graphen beider Wellen in je ein x-s-Koordinatensystem. Um die Länge der x-Achse bestimmen zu können, berechnen Sie zuvor, wie weit die beiden Wellen jeweils in 1 s gekommen sind. Hinweis: Wenn Sie die Wertetabelle erstellen, muss der Rechner auf das Bogenmaß eingestellt
sein (RAD).
d) Skizzieren Sie die graphische Addition beider Wellen, indem Sie die Auslenkungen der gleichen Stelle x addieren und in ein neues Koordinatensystem eintragen.
e) Stellen Sie die Wellengleichungen für S1(x, t) an der Stelle x = 0 auf. Skizzieren Sie den Graphen.
f) k= 2π/λ wird auch als Wellenzahl bezeichnet. k bedeutet anschaulich die Anzahl der Phasen 2π je Meter Lauflänge. Berechnen Sie k1 für die Welle s1(x, t) und dann die Anzahl N sämtliche durchlaufenen Phasen 2π bis zur Stelle x = 20 cm.
Überprüfen Sie das Ergebnis an Ihrer Zeichnung. Schreiben Sie die Wellengleichung s1(x, t) mit k1.
4. Auf einem l = 2,70 m langen Draht bildet sich ähnlich wie nach Abb. 4.14 bei einer Erregerfrequenz f = 50 Hz eine stehende Welle aus, wobei allerdings 10 Schwingungsknoten (einschließlich der Endpunkte) auftreten.
a) Berechnen Sie die Wellenlänge sowie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
b) Berechnen Sie, welche Wellenlänge λ0 und Frequenz f0 würde der Grundschwingung entsprechen würde und welche (bei gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit) würde der 1. und 2. Oberschwingung der Saite entsprechen würden.
c) Berechnen Sie die Länge einer einseitig geschlossene Röhre, wenn sie bei 50 Hz in ihrem Grundton ertönen soll (c = 340 m/s).
5. Der abgebildete Graph zeigt das Weg-Zeit-Gesetz der Schwingung eines Federpendels. Die Pendelmasse beträgt 0,5 kg.
Lösen Sie die folgenden Aufgaben gegebenenfalls auch mit Daten, die Sie dem Graphen entnehmen.
a) Berechnen Sie die Federkonstante D.
b) Berechnen Sie die Länge s, um die sich die Feder ausdehnt, wenn die Pendelmasse m angehängt wird.
c) Ermitteln Sie die Halbwertzeit TH der Abnahme der Schwingungsweite.
d) Berechnen Sie die Dämpfungskonstante k.
e) Ermitteln Sie die Amplitude s0.
f) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der gedämpften Schwingung und überprüfen Sie s(t) für t = 9,5 s, indem Sie die Zeit in Ihre Gleichung einsetzen.
Bitte beachten Sie: Zur Bestimmung des sin-Wertes müssen Sie Ihren Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) einstellen.
g) Zeigen Sie: s0(i+1)/s0i=δ=e^-kt const. T ist die Schwingungszeit und i = 1,2,3,…
Bsp. für i = 2: s02 ist von links gesehen das zweite Maximum der gedämpften Schwingung und s0(2+1)=s03 das dritte Maximum. Bestimmen Sie δ und berechnen Sie s05 indem Sie s04 dem Graphen entnehmen.
;)
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