ESA - MAÖK03N - Integralrechnung, Funktionen, Vektoren, Matritzen (Note 1, 100/100)

1. Die Kurven ƒ1(x)  –x2  2x  4 und ƒ2(x)  2x2 – 4x – 4 schneiden sich bei x1  –1
und x2  3. Berechnen Sie den Inhalt der umschlossenen Fläche.
Stellen Sie den Ansatz so auf, dass ein positiver Flächenwert herauskommt.
2.
3. Die Gesamtkostenfunktion eines Monopolisten sei
K(x)  x3
– 7x2  20x  15
(Menge in 1 000 Stück, Kosten in 1 000 €).
Die Preis-Absatz-Funktion sei
p(x)  –x  60
Nebenstehend ist der rechte Kurvenast der
Funktion gezeichnet.
Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten
Fläche.
1 4 x
y
2
1  x
y
x
Der Graph der Stückkostenfunktion ist unten skizziert.
a) Berechnen Sie die Menge, bei der der maximale Gesamtgewinn erzielt wird.
Das Maximum ist nachzuweisen.
b) Berechnen Sie die Menge des Kostenoptimums.
4. Ein Unternehmen benötigt in der ersten Produktionsstufe die Rohstoffe R1, R2, R3
zur Herstellung der vier Zwischenprodukte Z1 bis Z4. Eine zweite Produktionsstufe
liefert aus den Zwischenprodukten die Endprodukte E1 und E2.
Stellen Sie die Matrix auf, die den Rohstoffverbrauch pro Einheit der Endprodukte
beschreibt.
Tragen Sie unten die für die Endprodukte verwendeten Rohstoffmengen ein.
Verwendete Rohstoffmengen für E1: ______________________________________
Verwendete Rohstoffmengen für E2: ______________________________________
Materialverbrauch R1 bis R3
für Z1 bis Z4:
Verbrauch von Z1 bis Z4
für E1 und E2:
x
y
60
40
20
10
1234
1
2
3
ZZZZ
R 0 10 3 0
R 2 5 74
R 3 0 14
   
   
1 2
1
2
3
4
E E
Z 58
Z 07
Z 34
Z 31
   
 
   
5. Bei der Herstellung zweier Maschinenteile werden drei Automaten eingesetzt:
Der Gewinn beträgt 4 € je Teil A und 6 € je Teil B.
a) Formulieren Sie:
• die Ungleichungen der Beschränkungen:
• die Gleichungen der Randgeraden des Planungsvielecks:
• die Zielfunktion für den Gesamtgewinn:
b) Berechnen Sie die Geradenschnittpunkte, die auf dem Rand des Planungsvielecks liegen.
c) Zeichnen Sie das Planungsvieleck und den Graphen der Zielfunktion, der zum
maximalen Gesamtgewinn gehört.
Die Sorgfalt der Ausführung ist Bestandteil Ihrer Leistung!
Koordinatensystem für die Skizze
d) Berechnen Sie den maximalen Gesamtgewinn.