MAC08-XX03 - Note 1,0 (Leistungskurs)

1. Was die Ableitung alles über eine Funktion verrät.
Begründen Sie mithilfe des Graphen von f  in Abb. F.1:
a) f hat keine lokalen Extrema.
b) Die kleinste Steigung ist an der Stelle x  2
c) f ist im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.
d) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f, wenn zusätzlich f (0)  0 festgelegt
ist

2. Gegeben ist die Binomialverteilung B12;0,25(k).
Geben Sie an, in welcher der Abb. F.2 die Binomialverteilung dargestellt ist.
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.

3. Die Abb. F.3 zeigt den Graph einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Geben Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße an.
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für X  1,2 an.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert aus dem Inter-
vall [2,1; 2,6] annimmt.

4. Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit n  120, p  0,4.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für
1. mindestens k  55 Treffer,
2. höchstens k  50 Treffer,
3. zwischen k  55 und k  65 Treffer,
4. weniger als k  58 Treffer.
c) Geben Sie den Funktionsterm der die Binomialverteilung annähernden Normal-
verteilung an.

5. Das Unternehmen „Strumpfix“ pro-
duziert Socken und liefert diese in
zwei Qualitäten. Erste Qualität geht
an Modehäuser und enthält maxi-
mal 5 % Socken mit Webfehlern.
Die zweite Qualität dagegen enthält
bis zu 30 % Webfehler und wird an
Outlet-Zentren verkauft.
Durch einen logistischen Fehler innerhalb des Unternehmens wurde ein Container
mit 900 Sockenpäckchen zu je zwei Paar Socken nicht bezüglich der Qualität ge-
kennzeichnet. Die Verantwortliche glaubt aber dass es sich um Qualität 1 handelt.
Das Unternehmen beschließt daher eine Kiste mit 15 Päckchen, also 30 Paar Socken
mit einem Sicherheitsniveau von 5 % auf Qualität 1 zu testen.
a) Geben Sie die beiden Hypothesen an.
b) Geben Sie die Entscheidungsregel an.
c) Bestimmen Sie die Fehler erster und zweiter Art.
d) Die Stichprobe ergab vier fehlerhafte Sockenpaare.
Begründen Sie die Entscheidung des Unternehmens zur Qualität der Socken im Container.

6. Das Großraumflugzeug Antonov
hat sechs Triebwerke. Es kann noch
sicher landen, wenn vier der sechs
Triebwerke ausfallen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlich-
keit p, mit der jedes der Treibwerke
mindestens funktionsfähig bleiben
muss, damit der Flugzeug mit 99 %
sicher landen kann.

7. In einem Einkaufszentrum testet eine Parfümerie den Bekanntheitsgrad eines neu
auf den Markt gekommen Rasierwassers. Dabei wurde der Wert h  0,2 ermittelt.
Bestimmen Sie das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 95,4 %, wenn insge-
samt 300 Kunden befragt wurden.
a) Benutzen Sie zur Berechnung die exakte Formel.
b) Benutzen Sie zur Berechnung die Näherungsformel.
c) Beurteilen Sie die Gültigkeit der Näherungsformel.