MAX09N-XX02 - Note 1,0 (Leistungskurs)

1. a) Zeigen Sie, dass Sie die beiden Straßenstücke aus Beispiel 2.2
h: x → -x-1; x ≤ -2 und p: x → 1,5x + 2, x ≥ 0 mit einer ganzrationalen Funktion
r dritten Grades durch Interpolation verbinden können.
b) Stellen Sie die drei abschnittweise definierten Funktionen graphisch dar.
c) Begründen Sie, warum die Interpolation durch eine ganzrationale Funktion drit-
ten Grades möglich ist, während die Interpolation durch eine Funktion zweiten
Grades nicht möglich ist.

2. Ein Autobahnstück wird durch die Funktion f: be-
schrieben.
a) Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks.
b) Vergleichen Sie Ihre Rechnung mit der Bestimmung mit Ihrem Taschenrechner.

3. Berechnen Sie die unbegrenzte Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der
Funktion .

4. Gegeben ist die Funktion .
a) Berechnen Sie das uneigentliche Rotationsintegral für die Funktion f für x > 0.
b) Diskutieren Sie, ob für die unbegrenzte Fläche zwischen dem Graph der Funkti-
on f und der x-Achse ein uneigentliches Integral für x > 0 existiert.

5. Bestimmen Sie näherungsweise die Nullstelle der Funktion f : x → ex  x2.
a) Führen Sie dazu die Regula-falsi zweimal durch.
b) Führen Sie dazu das Newton-Verfahren zweimal durch.
c) Bestimmen Sie die Nullstelle mithilfe Ihres Taschenrechners.

6. Abb. F.1 zeigt den Querschnitt durch ein Weinfass (Einheiten in Meter).
a) Lesen Sie in der Zeichnung die Länge der Strecken ab, die Sie zur Berechnung
des Volumens des Fasses mit der Keplerschen Fassregel benötigen.
b) Berechnen Sie das Volumen des Fasses mit der Keplerschen Fassregel.
c) Die obere und die untere Randkurve des Fasses werden jeweils durch eine qua-
dratische Funktion beschrieben. Berechnen Sie die beiden Funktionsgleichun-
gen.
d) Berechnen Sie den Inhalt des Weinfasses als Rotationskörper mithilfe der Integ-
ralrechnung und vergleichen Sie den so erhaltenen Wert mit dem der Kepler-
schen Fassregel.